Arithmétique - Expert
Théorème de Fermat
Exercice 1 : Déterminer le chiffre des unités grâce au petit théorème de Fermat
En remarquant que \( 98=4 \times 24 + 2 \), déterminer le reste \( r_{1} \) de la division
euclidienne de \( 8^{98} \) par \( 5 \).
Déterminer le reste \( r_{2} \) de la division euclidienne de \( 8^{98} \) par \( 2 \).
On peut ainsi établir le système suivant : \[ \begin{cases} 8^{98} \equiv r_{1} [5] \\ 8^{98} \equiv r_{2} [2] \end{cases} \]
En remarquant que \( 8^{98} = 2k+r_{2} \), en déduire le reste de la division euclidienne
de \( k \) par \( 5 \).
En déduire le chiffre des unités de \( 8^{98} \).
Exercice 2 : Utiliser le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 3^{8} \) par \( 5 \) ?
Exercice 3 : Appliquer le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 101^{23} \) par \( 23 \) ?
Exercice 4 : Déterminer le chiffre des unités grâce au petit théorème de Fermat
En remarquant que \( 77=4 \times 19 + 1 \), déterminer le reste \( r_{1} \) de la division
euclidienne de \( 3^{77} \) par \( 5 \).
Déterminer le reste \( r_{2} \) de la division euclidienne de \( 3^{77} \) par \( 2 \).
On peut ainsi établir le système suivant : \[ \begin{cases} 3^{77} \equiv r_{1} [5] \\ 3^{77} \equiv r_{2} [2] \end{cases} \]
En remarquant que \( 3^{77} = 2k+r_{2} \), en déduire le reste de la division euclidienne
de \( k \) par \( 5 \).
En déduire le chiffre des unités de \( 3^{77} \).
Exercice 5 : Utiliser le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 4^{46} \) par \( 43 \) ?